O modelo Box-Jenkins ARMA é uma combinação dos modelos AR e MA (descrito na página anterior): comece Xt delta phi1 X phi2 X cdots phip X At-theta1 A - theta2 A - cdots - thetaq A. Termina onde os termos da equação têm o mesmo significado que o dado para o modelo AR e MA. Comentários sobre o modelo Box-Jenkins Algumas notas sobre este modelo. O modelo Box-Jenkins assume que as séries temporais são estacionárias. Box e Jenkins recomendam a série não estacionária diferenciada uma ou mais vezes para conseguir a estacionararia. Ao fazê-lo, produz um modelo ARIMA, com o I de Integrado. Algumas formulações transformam a série subtraindo a média da série de cada ponto de dados. Isso produz uma série com uma média de zero. Se você precisa fazer isso ou não é dependente do software que você usa para estimar o modelo. Os modelos de Modelos X-Jenkins podem ser estendidos para incluir termos médios verticais sazonais e autônomos sazonais. Embora isso complique a notação e a matemática do modelo, os conceitos subjacentes para os termos médias temporais sazonais e sazonais são semelhantes aos termos médios não-sazonais e à média móvel. O modelo Box-Jenkins mais geral inclui operadores de diferenças, termos autorregressivos, movendo-se Termos médios, operadores de diferenças sazonais, termos autorregressivos sazonais e termos médios móveis sazonais. Tal como acontece com a modelagem em geral, no entanto, apenas os termos necessários devem ser incluídos no modelo. Os interessados nos detalhes matemáticos podem consultar Box, Jenkins e Reisel (1994). Chatfield (1996). Ou Brockwell e Davis (2002). Etapas na modelagem Box-Jenkins As seguintes observações sobre os modelos Box-Jenkins devem ser anotadas. Os modelos Box-Jenkins são bastante flexíveis devido à inclusão de ambos os termos de média autorregressiva e móvel. Com base na decomposição de Wold (não discutida no Manual), um processo estacionário pode ser aproximado por um modelo ARMA. Na prática, encontrar essa aproximação pode não ser fácil. Chatfield (1996) recomenda métodos de decomposição para séries em que a tendência e os componentes sazonais são dominantes. Construir bons modelos ARIMA geralmente requer mais experiência que os métodos estatísticos comumente usados, como a regressão. Série Suficientemente Longa Requerida Normalmente, o ajuste efetivo dos modelos Box-Jenkins requer pelo menos uma série moderadamente longa. Chatfield (1996) recomenda pelo menos 50 observações. Muitos outros recomendariam pelo menos 100 observações. O primeiro passo no desenvolvimento de um modelo Box-Jenkins é determinar se a série é estacionária e se há alguma estacionalidade significativa que precisa ser modelada. A estacionança pode ser avaliada a partir de um gráfico de seqüência de execução. O gráfico da sequência de execução deve mostrar localização e escala constantes. Também pode ser detectado a partir de um gráfico de autocorrelação. Especificamente, a não-estacionariedade é frequentemente indicada por uma trama de autocorrelação com decadência muito lenta. Diferindo para alcançar a estacionança Box e Jenkins recomendam a abordagem de diferenciação para alcançar a estacionararia. No entanto, ajustar uma curva e subtrair os valores ajustados dos dados originais também pode ser usado no contexto dos modelos Box-Jenkins. Na fase de identificação do modelo, nosso objetivo é detectar a sazonalidade, se existir, e identificar a ordem dos termos médias temporais sazonais e autorregressivos sazonais. Para muitas séries, o período é conhecido e um único termo de sazonalidade é suficiente. Por exemplo, para dados mensais, normalmente incluiríamos um termo sazonal de AR 12 ou um termo sazonal de MA 12. Para os modelos Box-Jenkins, não removemos explicitamente a sazonalidade antes de ajustar o modelo. Em vez disso, incluímos a ordem dos termos sazonais na especificação do modelo para o software de estimação ARIMA. No entanto, pode ser útil aplicar uma diferença sazonal aos dados e regenerar a autocorrelação e os gráficos de autocorrelação parcial. Isso pode ajudar na identidade modelo do componente não-sazonal do modelo. Em alguns casos, a diferenciação sazonal pode remover a maioria ou todo o efeito da sazonalidade. Identificar p e q Uma vez que a estacionaridade e a sazonalidade foram abordadas, o próximo passo é identificar a ordem (ou seja, (p) e (q)) dos termos médios autorregressivos e móveis. Listas de autocorrelação e autocorrelação parcial As principais ferramentas para fazer isso são o gráfico de autocorrelação e o gráfico de autocorrelação parcial. O gráfico de autocorrelação da amostra e o gráfico de autocorrelação parcial da amostra são comparados com o comportamento teórico dessas parcelas quando a ordem é conhecida. Ordem do Processo Autoregressivo ((p)) Especificamente, para um processo AR (1), a função de autocorrelação da amostra deve ter uma aparência exponencialmente decrescente. No entanto, os processos AR de ordem superior são muitas vezes uma mistura de componentes sinusoidais exponencialmente decrescentes e amortecidos. Para processos autoregressivos de ordem superior, a autocorrelação de amostra precisa ser complementada com um gráfico de autocorrelação parcial. A autocorrelação parcial de um processo AR ((p)) torna-se zero em lag (p 1) e maior, então examinamos a função de autocorrelação parcial da amostra para ver se há evidência de uma partida de zero. Isso geralmente é determinado ao colocar um intervalo de confiança 95 no gráfico de autocorrelação parcial da amostra (a maioria dos programas de software que geram gráficos de autocorrelação de amostra também irá traçar esse intervalo de confiança). Se o programa de software não gerar a faixa de confiança, é aproximadamente (pm 2 sqrt), com (N) denotando o tamanho da amostra. Ordem do processo médio móvel ((q)) A função de autocorrelação de um processo MA ((q)) torna-se zero no intervalo (q 1) e maior, então examinamos a função de autocorrelação da amostra para ver onde ela se torna essencialmente zero. Fazemos isso colocando o intervalo de confiança 95 para a função de autocorrelação da amostra no gráfico de autocorrelação da amostra. A maioria dos softwares que podem gerar o gráfico de autocorrelação também podem gerar esse intervalo de confiança. A função de autocorrelação parcial da amostra geralmente não é útil para identificar a ordem do processo de média móvel. Forma da função de autocorrelação A tabela a seguir resume como usamos a função de autocorrelação da amostra para a identificação do modelo.
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